#統計その2つのt分布の導出は区別ができない程度に同じ話になります。 U~χ²(ν), Z~N(0,1²)...

43 views May 04, 2025 ~1 min read

#統計その2つのt分布の導出は区別ができない程度に同じ話になります。

U~χ²(ν), Z~N(0,1²) (独立)のとき、条件U/ν=1/σ²の下でのZ/√(U/ν)が従う条件付き確率分布はN(0, σ²)なり(自明)、条件付けない場合には「分散σ²の逆数が1/σ²~χ²(ν)/ν=Γ(ν/2,2/ν)を満たすときの正規分布」のように解釈できます。
x.com/respctsogachin…

#統計さらに補足すると、事後予測分布の場合には共役事前分布になっていることも使う。

2つの導出が直接的に本質的に同等になるのは、事前予測分布(標本サイズ0の場合の事後予測分布)の場合です。
x.com/respctsogachin…

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#統計 上のZ/√(U/ν)の場合の話は、その二乗の場合がZ²~χ²(1), U~χ²(ν) (独立)であることより(Z²/1)/(U/ν)~F(1, ν)となることなのは、V~χ²(ν₁), U~χ²(ν₂) (独立)より(V/ν₁)/(U/ν₂)~F(ν₁,ν₂)となること特別な場合になります。続く

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#統計 V~χ²(ν₁), U~χ²(ν₂) (独立)より(V/ν₁)/(U/ν₂)~F(ν₁,ν₂)となることはF分布の定義が無用に複雑になっていて分かりにくいのですが、その本質はガンマ分布とベータプライム分布の関係に過ぎません。続く

#統計 X~Γ(κ,1), Y~Γ(λ,1) (独立)のとき、

　X+Y~Γ(κ+λ,1), P=X/(X+Y)~Beta(κ,λ) (独立)

となることはガンマ関数とベータ関数の関係のちょっとした一般化に過ぎず、さらに

　Q=P/(1-P)=X/Y~BetaPrime(κ,λ)

も成立しています。

ベータプライム分布の定義
↓
en.wikipedia.org/wiki/Beta_prim…

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#統計 ベータ分布に従う確率変数Pは「割合」や「確率」を意味するパラメータのモデル化によく使われます。そのように解釈されたPについてQ=P/(1-P)をオッズと呼びます(オッズは賭け事に関しては標準的な用語)。そのベータ分布のオッズQが従う分布はベータプライム分布と呼ばれています。続く

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#統計 ベータプライム分布の確率密度関数はベータ分布と同じ程度にシンプルで扱い易いです。

そして、F分布はベータプライム分布のスケール変換に過ぎないので、ベータプライム分布について理解していればF分布の理解も容易になります。

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