#数楽大学でも高校まででも、数学が分からなくなる原因が具体例の確認を怠ってしまっていることである場合はかなり多いと思う。...

46 views May 07, 2025 ~2 min read

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#数楽 大学でも高校まででも、数学が分からなくなる原因が

具体例の確認を怠ってしまっていること

である場合はかなり多いと思う。

抽象的な説明を理解できないときに、そこで思考がストップして何をやったら良いのか分からなくなってしまい、何もやらないので結果的に理解は全然進まない。続く

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#数楽 数学の普通の勉強の仕方は、

分からないことについては
その分からないことの理解に役に立ちそうな
相対的に易しい事柄について考えてみること

です。そういう普通のやり方の典型例が

具体的な例を色々確認してみること

です。

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#数楽 高校までに「与えられた問題を大量に解くだけで終わり」というダメな数学の勉強の仕方をして来た人達は数学を理解するための勉強をしたことがないので注意が必要です。

おそらく、大学入学時点で理解するための勉強の仕方をしてきた人達に数学的理解力の面で大きな差がつけられている。

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#数楽 「高校の数学と大学の数学の違い」を語る大学の先生達は教育的に有害な印象論を広めていることになる。

数学者の先生本人は直観的に考えて論理的に証明を書き下しているだけなのに、最初からガチガチに論理的に厳密に考えているかのような印象を学生に与える行為は明らかに教育的に有害です。

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#数楽 

論理を操るスキルが高ければ高いほど
直観を駆使したときの誤りが減って
思考の自由度が上がる

のように教えるべきだと思います。

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#数楽

中学入学後に数学が分からなくなった
高校入学後に数学が分からなくなった
大学入学後に数学が分からなくなった

という問題は全て

ダメな勉強の仕方をしていたツケがまわって来た

という問題です。

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#数楽 

高校まで数学の試験の点数は良かったのに大学に入学したら数学が分からなくなったこと

の原因を

高校数学と大学数学の違い

に求めることは、

高校までにダメな勉強の仕方をしていたことを覆い隠す

のでよろしくない。

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#数楽 

分からないことが出て来たら
相対的に理解し易いことについて考えてみることを
地道に行う

特に

具体例の確認を忘れないようにする

という基本中の基本で押し通して行けばよっぽど難しいことでもない限り、十分な時間をかければ理解できる場合が多いと思います。

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#数楽 あと、小学校→中学校→高校→大学と数学の内容は段々難しくなって行くので、その分だけ時間をかけないと理解できないことが増えるという事実とも向き合う必要があります。

内容が難しいと具体例の確認も面倒になります。

しかし、面倒ごとを避けると数学は途端に分からなくなります。

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#数楽 大学以降では

すぐに理解できなくても良くて
数年かけて理解できれば良い

のように鷹揚に構える必要があります。

ただし主観的に十分に理解できていないと思っていても、単位だけは取っておいた方が良いです。

単位を取った後に数年かけて理解すれば良い。

卒業までに理解できればよい。

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#数楽 補足

数学を理解の仕方については短く説明できません。

このスレッドでは必要最低限のこととして「具体例の確認を怠らないこと」を強調していますが、それだけでは満足できる理解に到達できないことも多いです。

逆に「具体的過ぎて理解できない」ということもよくあります。つづ中

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#数楽 非常に複雑な具体的な計算例だけを見せられても(もしくは見ても)、「何が面白いのか分からない」「何が本質なのか分からない」「単に複雑で訳が分からないことをやっているように見える」となることもよくあります。

そういう場合には、抽象化一般化について考えてみる必要があります。続く

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#数楽 「理解の役に立つ具体例の確認」も「理解の役に立つ抽象化と一般化」もどちらも経験値がものを言う一筋縄では行かない技術です。

実際に時間をかけて試行錯誤することによって経験がたまって色々できるようになるという感じ。続く

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#数楽 「理解の役に立つ具体例の確認」と「理解の役に立つ抽象化と一般化」は正反対の行為に見えますが、実際には片方がもう一方の遂行に役に立つことが多い。続く

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#数楽 具体例を沢山確認して行くうちに一般的にどうなっているかに関する正しい予想に辿り着くこともあるし、良さそうな一般化を思いついたお陰でそれを確認するための良さそうな具体例の計算も思いついて理解が進むこともよくあります。

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#数楽 現代的には、具体例の確認ではコンピュータも自由に利用した方がよいと思う。

しかし、所謂「受験数学」という発想で数学を教わると、「本番ではコンピュータを使えない」と言うような理由でコンピュータを使って具体例を確認する様子さえ見せてもらえなかったりする。

これもちょっと酷い。

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#数楽 大学受験やら〇〇検定の試験対策やらに過剰適応した勉強の仕方は、数学を理解するための勉強には全然なりません。

理解することは試験で楽に点数を取るためにものすごく強力なので、試験勉強への過剰適応は試験で失敗する可能性も大幅に上げていると思われます。

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#数楽 いずれにせよ、理解するための技術を磨くことをしない型の勉強を続けると、内容が難しくなって行ったときにどこかで破綻します。

高校まで数学が得意(試験で点数を取れていたという意味)であっても、理解するための勉強を怠っていると、大学入学後に数学が全然分からなく可能性が高いです。

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#数楽 数学が分からなくなるタイミングは人によってそれぞれなのですが、大学入学者はそれなりに発言する力があるので、自分の経験として「高校までの数学と大学での数学は違う」と言い張る人は増えてしまう。

実際には、理解するための基本は小学校からずっと変わりません。

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#数楽 ここ十数年間ずっと言って来ているように、小学校での算数教育の方針には根本的に問題があります。かけ算順序固定強制指導は氷山の一角。

さらに中学校数学の教え方にも問題がある。「符号を変えて移す」と「移項」を教える弊害など多数。

高校では無駄に沢山の問題を解かせ過ぎ。

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#数楽 さらに大学でも統計学について単なるやり方を教えている場合がある。現時点ではフローチャート統計学を無くすことはできそうもない。(フローチャート統計学は日本だけの問題ではない。)

理解することを大事にしない教育が異様に蔓延している。

この問題は深刻。話題にすることが必要。

#統計悪しきフローチャート統計学の実例の紹介。

小学校から高校まで「やり方」重視で「理解」軽視の悪しき教育を受けて来て、さらに大学でもそうなってしまうとすると、あまりにも悲し過ぎる。

研究者教育レベルで「きはじ」の類を使わせるのと同じようなことをしている場合がある。
x.com/genkuroki/stat…

#数楽大学の数学の先生達が語る「高校数学と大学数学の違い」言説は多くの場合に、「大学数学は数学的に厳密だが、高校数学はそうではない」のような言い方で高校数学の__内容__を貶める行為を含んでいる。

しかも以下のリンク先のようにその貶め方が酷く間違っていることがある。これは有害。続く
x.com/genkuroki/stat…

#数楽ある種の人達は「高校数学での三角関数の微積分は循環論法に陥っている。それを防ぐには三角関数をそのTaylor展開で天下り的に定義しなければいけない」というデマを信じていたりする。

おそらくその原因のかなりの部分が
↓
x.com/genkuroki/stat…

#数楽杉浦光夫『解析入門Ⅰ』のp.175には

【(*)　　　lim_{t→0} (sin t)/t = 1

～円弧の長さを例えば積分で定義したとしても, その積分を計尊するのに(*)を用いなければならぬのでは循環論法になってしまう】

と酷い誤りが書いてある。続く
x.com/genkuroki/stat…

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#数楽 (x(t), y(t))=(√(1 - t²), t)として曲線の長さの積分表示

(**) θ = ∫₀ʸ √(x'(t)²+y'(t)²) dt = ∫₀ʸ dt/√(1-t²)

で円弧の長さを表したときに、t = sin u で置換積分しようとすると、dt/dum= (d/du) sin u が必要になってしまい、確かに循環論法に陥るが、その置換積分は無用です。続く

#数楽高校数学Ⅰでsinの定義から

(**) θ = ∫₀ʸ √(x'(t)²+y'(t)²) dt = ∫₀ʸ dt/√(1-t²)

の逆関数がy=sin θになることが分かります。t=sin uという置換積分を経由せずにそのことが分かります。

y=sin θが(**)の逆関数であることを使えば、dy/dθ=(d/dθ)sin θがcos θになることもわかる。
x.com/genkuroki/stat…

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#数楽 要するに

* 高校数学Ⅰでのsinの定義
* 高校数学Ⅲでの曲線の長さの積分表示

を組み合わせれば、非常にクリアに三角関数の微積分論を展開できるようになっています。

円弧の長さを積分表示しても循環論法なり得ることの強調はミスリーディングです。教育的に有害。

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#数楽 以上で示した

y=sin θ, -π/2≤θ≤π/2のときθ=∫₀ʸ dt/√(1-t²)となるという公式は実はsinの定義と曲線の長さの積分表示から自明

という議論は

y=sin θ, -π/2≤θ≤π/2のときθ=∫₀ʸ dt/√(1-t²)となるという公式を無断で使って良いのか

のようなくだらない議論とは全然違うことにも注目！

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#数楽 数学を理解するためには

y=sin θ, -π/2≤θ≤π/2のときθ=∫₀ʸ dt/√(1-t²)となるという公式を無断で使って良いのか

のようなくだらない議論には一切関わらないようにするべき。

y=sin θ, -π/2≤θ≤π/2のときθ=∫₀ʸ dt/√(1-t²)となるという公式がどのように自明であるかについて学ぶべき。

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#数楽 以上で示した

(***) y=sin θ, -π/2≤θ≤π/2のときθ=∫₀ʸ dt/√(1-t²)

の理解の仕方は、単に具体的な計算をするだけでは何が足りないかを示す例にもなっています。

t=sin uで置換積分すれば(***)は瞬時に得られるのですが、それだけだと足りない。sinの定義に戻って考え直すことが必要です。

#数楽コンピュータでグラフを描いて見ることも役に立つ。

例えば、大学1年生向けの講義で

f(x,y)=x²y/(x²+y²) (f(0,0)=0と約束)

は原点で偏微分可能だが微分不可能だと教わったりするのですが、グラフを描けば原点でグラフが滑らかになっていない様子が分かります。続く

wolframalpha.com/input?i=plot+%…

#数楽 f(x,y)=x²y/(x²+y²)は、極座標表示すると

f(r cos θ, r sin θ) = r cos² θ sin θ

と書けるので、原点から角度θ方向には傾きcos² θ sin θの一次関数になっています。

コンピュータに書かせたグラフを見てもそうなっているっぽいことが分かります。

グラフの形を見たことがある経験は重要。

#数楽大学での数学の期末試験ではコンピュータを使えないという理由で添付画像のようなグラフを作っても無意味である、のような馬鹿げた思い込みにとらわれてしまうと、結果的に理解が薄くなってしまい、期末試験でも十分な点数が取れなくなるリスクが増えます。

#数楽あと、グラフを単に見るだけでもダメで、グラフから仮に「原点から角度θ方向の傾きは一定っぽい」という観察が得られたなら、関数の極座標表示も求めてみるというようなこともやってみるべきです。

「具体例の確認」は機械的にできることではなく、相当に頭を使う作業になります。

#数楽高校2年生で漸化式について勉強するときにも、WolframAlphaは役に立ちます。

a₁=3, aₙ₊₁=2aₙ+3ⁿ+n

のような漸化式も以下のように解いてくれます。
↓
wolframalpha.com/input?i=a%281%…

#数楽 WolframAlphaはもっと一般的な漸化式

aₙ₊₁=2aₙ+b3ⁿ+cn+d

も解いてくれます。結果の表示はごちゃごちゃしていいますが、

aₙ=A2ⁿ⁻¹+B3ⁿ⁻¹+Cn+D

の形になっています。続き

wolframalpha.com/input?i=solve+…

#数楽逆に

aₙ=A2ⁿ⁻¹+B3ⁿ⁻¹+Cn+D

が

aₙ₊₁=2aₙ+B3ⁿ⁻¹-Cn+C-D

を満たすことは紙の上での手計算で容易に確認できます。

WolframAlphaで確認するには以下のようにすればよい。
↓
wolframalpha.com/input?i=a%28n%…

#数楽以上のような経験を積んで理解が深まっていればその手の漸化式を解くこと(一般項を求めること)は容易になります。

現実には高校生がWolframAlphaを使いこなすのは難しいかもしれないが、教える側の勉強のためには役に立ちやすいと思います。

漸化式については以下のリンク先スレッドも参照。
x.com/genkuroki/stat…

#数楽観察をまとめておくと便利。

①aₙ=A2ⁿ⁻¹+B3ⁿ⁻¹+Cn+D

とおくと

aₙ₊₁-2aₙ=B3ⁿ⁻¹-Cn+C-D, a₁=A+B+C+D.

これと

②aₙ₊₁-2aₙ=b3ⁿ⁻¹+cn+d, a₁=α

を比較すると、②の成立には

B=b,
C=-c,
D=-c-d,
A=α-b+2c+d

であれば十分。こう置けば②を満たすaₙを①で作れる。
x.com/genkuroki/stat…

#数楽 aₙ=A2ⁿ⁻¹+B3ⁿ⁻¹+Cn+Dとおくとき

aₙ₊₁-2aₙでは2ⁿ⁻¹の項が消える

ことに気付いた人は

aₙ₊₁-3aₙでは3ⁿ⁻¹の項が消える

ことにも気付き、さらに

bₙ=aₙ₊₁-2aₙ

の形を見て

bₙ₊₁-3bₙ=aₙ₊₂-5aₙ₊₁+6aₙでは2ⁿ⁻¹, 3ⁿ⁻¹の両方の項が消える

ことにも気付くはず。

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#数楽 以上の観察をまとめれば、漸化式

aₙ₊₂-5aₙ₊₁+6aₙ=cn+d,  a₁=α,  a₂=β

の解(一般項)は

aₙ=A2ⁿ⁻¹+B3ⁿ⁻¹+Cn+D

とおいてA,B,C,Dの値をc,d,α,βから求めれば得られることが分かる。

計算はWolframAlphaにまかせれば楽。寝転んでスマホの類で遊べる。手で計算しても大したことない。

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#数楽 一意的に決まる漸化式の一般項を求める問題の解答は、答えを求める過程を一切書かずに答えを書いてそれが答えになっていることを示せば論理的にギャップがない答案が得られます。

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#数楽￼ ところが、高校生向けの漸化式の解法の解説は、天下り的なくせに無駄に途中の過程を書かせる最低のスタイルなものが多く、数学的な理解についてだけではなく、受験対策的にもダメすぎるものが多い。

おそらく解説している側の数学的理解度が低いせいでそうなっています。

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#数楽 自分なりに独自に色々考えてみて理解した人の説明と、他人の説明をそのまま鵜呑みして従っているだけの他人の説明は多くの場合に容易に区別できます。

高校生向けの漸化式の解説の多くは、どこかで見た解法をそのまま鵜呑みして説明しているだけ。自分の頭では何も考えていない。

#数楽 WolframAlphaや紙の上での手計算などで、以下のリンク先以下の試みを色々してみた人なら、そこで得られなかったタイプの問題についても解けるようになる(なっている)可能性があります。

自分で色々試してみる経験は非常に役に立ちます。
x.com/genkuroki/stat…

#数楽例えば類似の問題の

aₙ₊₁=2aₙ+2ⁿ+n, a₁=2

をWolframAlphaさんに解いてもらうと

aₙ=(n+3)2ⁿ⁻¹-n-1

が答えになります。続く

wolframalpha.com/input?i=a%281%…

#数楽そこで、

aₙ=(An+B)2ⁿ⁻¹+Cn+D

とおくと

aₙ₊₁-2aₙ=A2ⁿ⁻¹-Cn+C-D

と

aₙ₊₁-2aₙではB2ⁿ⁻¹が消えてAn2ⁿ⁻¹がA2ⁿ⁻¹に変わる

ことが分かります。この事実を使えば

aₙ₊₁=2aₙ+b2ⁿ⁻¹+cn+d

型の漸化式は全部解ける。続く

wolframalpha.com/input?i=a%28n%…

#数楽

bₙ=aₙ₊₁-2aₙ=A2ⁿ⁻¹-Cn+C-D

について

bₙ₊₁-2bₙ=aₙ₊₂-4aₙ₊₁+4aₙではA2ⁿ⁻¹に項が消える

ことにも気付く:

aₙ₊₂-4aₙ₊₁+4aₙ=Cn-2C+D.

これを使えば

aₙ₊₂-4aₙ₊₁+4aₙ=cn+d

型の漸化式もaₙ=(An+B)2ⁿ⁻¹+Cn+Dとおけば全部解ける。

wolframalpha.com/input?i=a%28n%…

#数楽 WolframAlphaのような飛び道具なしなら、もっと素朴にやった方がよいかも。

例えば
↓
x.com/genkuroki/stat…

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#数楽 数学の理解では重要なことは参考書や教科書の通りにやる必要は皆無だということです。

参考書や教科書の通りやる必要は皆無だが、試しに従ってみる

というのと

参考書や教科書の通りやる必要がある

と思ってしまうのでは大違い。

#数楽 aₙ₊₁=paₙ+qₙ型の漸化式は「順番に足して行く」という素朴な方法でも解けます。しかも、aₙ,qₙがベクトルでpが行列でも同じになる点がその方法の利点の1つです。続く
x.com/genkuroki/stat…

                            53
                        
#数楽 a⃗ₙ₊₁ = Aa⃗ₙ+q⃗ₙ のとき、

a⃗₁=a⃗₁
a⃗₂=Aa⃗₁+q⃗₁
a⃗₃=A²a⃗₁+Aq⃗₁+q⃗₂
a⃗₄=A³a⃗₁+A²q⃗₁+Aq⃗₂+q⃗₃
⋯⋯⋯
a⃗ₙ=Aⁿ⁻¹a⃗₁+Aⁿ⁻²q⃗₁+Aⁿ⁻³q⃗₂+⋯+Aq⃗ₙ₋₂+q⃗ₙ₋₁

これは易しいはず。大学生向けに話すときにはn=1ではなく、n=0から始める。

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#数楽 a⃗ₙ₊₁ = Aa⃗ₙ+q⃗ₙと

a⃗ₙ=Aⁿ⁻¹a⃗₁+Aⁿ⁻²q⃗₁+Aⁿ⁻³q⃗₂+⋯+Aq⃗ₙ₋₂+Aq⃗ₙ₋₁

は同値。Aⁿ⁻²q⃗₁+Aⁿ⁻³q⃗₂+⋯+Aq⃗ₙ₋₂+Aq⃗ₙ₋₁をうまく計算できれば一般項が求まります。一般のq⃗ₙでは簡潔な式で表示できないが、特殊な場合には簡潔に表示できたりする。

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#数楽 ベクトルのa⃗ₙ, q⃗ₙと行列Aから得られる漸化式 a⃗ₙ₊₁=Aa⃗ₙ+q⃗ₙの型の漸化式は、実質行列を排除されてしまった高校生向けの解説では扱いが困難なのですが、教える側は理解しておく必要があると思います。

大学で習うdu⃗(t)/dt=Au⃗(t)+b(t)型の微分方程式の解法と本質的に同じ。

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#数楽 一般に微分方程式は漸化式(差分方程式)で近似され、漸化式に関して理解しておくと、微分方程式の理解でも役に立ちます。

微分方程式は役に立つ数学の典型例なので、漸化式も役に立つ数学の典型例扱いできます。

高校でも役に立つ数学だとわかるように教えて欲しいと思います。

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#数楽 大学での教養としての数学の講義までの内容は(当然算数から高校数学を含む)、普通の意味で役に立つものばかりです。

ところが教わっている側にはそのことが全然伝わっていない。

教えている側も役に立つ数学を教えている自覚がない場合が多いのではないか？

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#数楽 数学にかぎらず、教える側がどんなに頑張っても、教わっている側が「全然面白くない」と思っていたら、結局のところ教えることに失敗すると思います。

面白いと思っているからこそ、面倒な試行錯誤をやる気になれるはずがない。

本当は役に立つのに役に立たないかのように教えるのはまずい。

#数楽

aₙ₊₂+p₁aₙ₊₁+p₂aₙ=qₙ

型の漸化式は

v⃗ₙ =
[ aₙ ]
[aₙ₊₁]

A =
[ 0 1 ]
[ -p₂ -p₁ ]

b⃗ₙ =
[0 ]
[qₙ]

とおくと

v⃗ₙ₊₁=Av⃗ₙ+b⃗ₙ

と同値になる。

この手のことは微分方程式の講義で習っているはず。
x.com/genkuroki/stat…

#数楽大学でも高校まででも、数学が分からなくなる原因が具体例の確認を怠ってしまっていることである場合はかなり多いと思う。...

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