#統計ガンマ関数に被積分関数のプロットだけで非常に教育的。...

66 views Apr 26, 2025 ~1 min read

#統計ガンマ関数に被積分関数のプロットだけで非常に教育的。

ガンマ関数を近似するガウス積分は相対誤差的に1/√nのオーダーで左半分で過大評価で右半分で過小評価になっているが、キャンセルして相対誤差が1/nオーダーの近似になっている。

#Julia言語のノートブック
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colab.research.google.com/drive/125pn1x0…

元祖若葉めるる@微分コンサル@wkbme

ガンマ分布が正規分布に漸近するやつ！

#統計階乗のスターリングの近似公式入門には、以下のリンク先の若葉めるるさんのやり方が私もお勧め。

入門的でないやつはその後で良い。

colab.research.google.com/drive/125pn1x0…

元祖若葉めるる@微分コンサル@wkbme

@mui_kanarine ガンマ関数の積分評価による方法（厳密には、ラプラスの方法を使うやつ）だと、2pi の出どころがガウス積分だということが直感しやすくなるのでおすすめです！！

#統計 #数楽入門的とは言えないスターリングの公式の理解のためには、ガンマ関数そのものではなく、対数ガンマ関数に関するスターリング近似とその剰余項に関するビネの公式を、対数ガンマ関数がフルヴィッツのゼータ関数の微係数として出て来ることを経由して理解すること。

黒木玄 Gen Kuroki@genkuroki

#数楽公式 log Γ(x) = ζₛ(0, x) + log√(2π) から階乗(の対数)のStirling近似公式の精密化であるBinetの公式が容易に得られる。Hurwitzのゼータ函数の積分表示からs=0での微係数の積分表示を作れば良い。

genkuroki.github.io/documents/Calc…

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#数楽 フルヴィッツのゼータ関数は(ゼータ関数なので)Mellin変換型の積分表示を持ちます。

対数ガンマ関数はフルヴィッツのゼータ関数のある微係数として出て来ます。

ゆえに対数ガンマ関数のスターリング近似の剰余項も積分表示を持ちます。

たったこれだけのこと。

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#数楽 ゼータ関数経由でガンマ関数について理解しておくことは、ガンマ関数の様々な一般化およびそこから派生する正弦関数の一般化に繋がるという意味で純粋数学的に非常に重要な話になっています(多重ガンマ関数、多重正弦関数)。

スターリングの公式は色々面白い話に繋がっています。

#統計 #数楽大事な点を繰り返します。

ガンマ関数のガウス積分による近似を被積分関数の同時プロットで視覚化すると、n=30としても結構大きくずれているように見えるのですが、ずれの大部分は左右の積分でキャンセルして消えるということです。

ここまで視覚化で認識できると楽しくなります。

黒木玄 Gen Kuroki@genkuroki

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#統計 全体を積分すると左右でのずれが逆方向で互いにほぼキャンセルすることの数式による確認は、適切にテイラー展開して、∫_ℝ exp(-t^2)t^3 dt = 0 を使えば分かります。

微積分の計算好きでかつコンピュータによる視覚化好きの人にとってスターリングの公式は非常に楽しめる題材になっています。

#数楽添付動画は以下のリンク先のスターリングの公式のシンプルな証明の方針の視覚化にもなっている。

あと、教育的な数学動画を作ったときには、そのために使ったソースコードも公開するべきだと思う。動画作成でもちょっとした試行錯誤する余地を残したい。

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黒木玄 Gen Kuroki@genkuroki

#数楽スターリングの近似公式

n!≈nⁿ e⁻ⁿ √n √(2π)

を簡単に得るには、ガンマ関数の積分変数をx=n+√n yと変数変換するのが簡単。

n!=∫_0^∞ xⁿ e⁻ˣ dx
=nⁿ e⁻ⁿ √n ∫_{-√n}^∞ (1 + y/√n)ⁿ exp(-√n y) dy

と変形して、n→∞とするとガウス積分が現れることを確認すればよい。

#数楽コンピュータに不慣れな人にとっては、こういう動画を作ること自体が魔法の一種に見えてしまいます。

動画作成のためのソースコードを楽に実行できる形で公開すれば、ソースコードのちょっとした変更を多くの人が試せる。

例えばn=100の様子も見てみることができる。

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#数楽ガンマ関数のラプラス近似でスターリングの公式を得るシンプルな証明を厳密化するためには、積分と極限の交換を正当化する必要があります。

その正当化も添付画像の視覚化を経た後では易しくなります。

百聞は一見に如かず。続く

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#数楽スターリングの公式の証明で必要な極限と積分の交換は、添付動画の青線の関数の積分が橙破線の関数の積分(√(2π)になる)に収束することです。

グラフ的にはそうなっているのは当たり前に見える。

その当たり前な理由を正確に書けば証明が完成します。続く

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#数楽ルベーグの収束定理を使う手抜きを許すならば非常に簡単。

H(y) = if y < 0 then G(y) else F(1, y)

とおくと、H(y)はyについてℝ上可積分で

0≤F(n, y)≤H(y)

なので、ルベーグの収束定理より、n→∞のとき

∫_ℝ F(n,y)dy→∫_ℝ G(y)dy=√(2π).

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#数楽

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#数楽

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#数楽 #Julia言語 #Colab

グラフを作成するスキルは非常に重要なのですが、コンピュータでグラフを作るスキルの習得にはかなりの時間的なコストがかかります。

今だとGoogle Colabのようなありがたいツールがあって、始めはそこでJulia, Python, Rによるグラフ作成法を練習すれば良いと思います。

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#数楽 #Julia言語 #Colab

グラフの作成スキルの習得の勉強で最も難しいことは「特別に作りたいとは思わないグラフを作る練習」にならないようにすることかも。

見ることができたらうれしいことについてグラフを描かないと、何のためにグラフ作成スキルを習得したいのか分からなくなってしまう。

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#数楽 #Julia言語 #Colab ひとつのやり方

例えば、私が描いたグラフを見て、自分が見たいことが視覚化されていないとする。そのとき、私が公開したコードを改良して、自分が見たいものを描いて𝕏に投稿する、というような勉強の仕方もあると思います。

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