@genkuroki: #数楽 佐武一郎『線型代数学』の第IV章§5から§6にかけて...

#数楽 佐武一郎『線型代数学』の第IV章§5から§6にかけて、SO(3)の元がある軸での回転になっていることが証明されています。実正規行列の直交変換による標準形の結果(複素の場合を知っていれば容易)を証明して使っています。

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#数楽 線形代数がらみの話題について日本語の本で引用する本を選ぶなら、まず第一に佐武一郎『線型代数学』を検討するのが無難だというのが、私が知る限りにおいて40年以上前からの鉄板定跡だと思います。

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#数楽 佐武一郎『線型代数学』は「線形代数」の「線形」という用語にひっぱられた浅はかな思想や主義に基いて書かれておらず、数学的に面白い話が素直にそのまま書かれているので、単なる教科書ではなく、非常に面白い本になっています。

妙な思想に毒された本ではなく、こういう本を読むのが良い。

#数楽 添付画像は佐武一郎『線型代数学』より。

終結式と判別式についての解説が書かれている文献としても、佐武一郎『線型代数学』は利用できます。(実際に利用しています。)

中古本も安く手に入るのでコスパ的にはほぼ最高レベル。

#数楽 ときどき「線形代数の教科書に特異値分解の話が書かれていない」というクレームを見るのですが、佐武一郎『線型代数学』ならp.155の例2とその下の注意に書かれています。

「実対称行列の対角化について知っていれば容易な話題」という立場での取り扱いなので、特別に名前を付けていない。

#数楽 自分が関わる応用分野で直接使われるもの(例: 特異値分解)についてのみ勉強しようとすると、結果的に思考の仕方の効率が悪くなる可能性があります。

より基本的な実対称行列の直交行列による対角化(正規行列のユニタリ行列による対角化)のような話に帰着できる易しい話だと認識することは大事。

#数楽 佐武一郎『線型代数学』は大学新入生で習うような易しい話を使うだけで、相当に面白いことをできることを次々に紹介している本なので多くの人達に自信を持って勧めることができます。

#数楽 2次方程式が重根を持つかどうかは判別式が0になるか否かで判定できることが中学生でも知っています。3次、4次、さらに一般のn次方程式でも、判別式が定義されて同様のことをできます。

これ、数学好きなら、当然知っておきたい話だと思います。

佐武一郎『線型代数学』なら書いてあります。

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#数楽 n次式の判別式の定義はスカラー倍の違いを除けば、n次式のn個の根の差積の2乗です。根達の差積の2乗は根達の対称多項式になるので、n次式の係数で書けて、n次式の係数だけを使って計算できます。

非自明なのは根達の差積の2乗が行列式表示を持つこと(しかし昔から標準的な話題)。

#数楽 個人的な意見では、実対称行列の直交行列による対角化とHermite行列のユニタリ行列による対角化の理解は、大学新入生向けの線形代数における最重要項目。

大学新入生の側は色々勉強するのが大変過ぎるなら、「実対称行列とHermite行列の対角化さえ理解できていればよい」のように思っても良い。

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#数楽 数学では「習っていないので、分かりません」は禁句。

例えば「特異値分解については習っていないのでわかりません」はアウト。

「実対称行列が直交行列で対角化できることを使えば特異値分解もように導けます」のように、基本に帰着して理解できる力が重要。

#数楽 複素正規行列の対角化と実正規行列の標準形の違いは、

exp(ix), exp(-ix)の組み合わせ

と

cos(x), sin(x)の組み合わせ

のどちらを使うかの違いの「一般化」に過ぎない。

つまり、大した違いはないということ。

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#数楽 佐武一郎『線型代数学』を引用するたびに、線型代数を可換体上の加群に関する理論だとみなす視界の狭い発想で教えることは数学として面白くないと強調したくなる。

「行列は線形写像の実現である」という見方も狭過ぎる。「行列は何かを表現するために使われることが多い」ならずっと良い。