#統計 その2つのt分布の導出は区別ができない程度に同じ話になります。

U~χ²(ν), Z~N(0,1²) (独立)のとき、条件U/ν=1/σ²の下でのZ/√(U/ν)が従う条件付き確率分布はN(0, σ²)なり(自明)、条件付けない場合には「分散σ²の逆数が1/σ²~χ²(ν)/ν=Γ(ν/2,2/ν)を満たすときの正規分布」のように解釈できます。

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#統計 さらに補足すると、事後予測分布の場合には共役事前分布になっていることも使う。

2つの導出が直接的に本質的に同等になるのは、事前予測分布(標本サイズ0の場合の事後予測分布)の場合です。

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#統計 上のZ/√(U/ν)の場合の話は、その二乗の場合がZ²~χ²(1), U~χ²(ν) (独立)であることより(Z²/1)/(U/ν)~F(1, ν)となることなのは、V~χ²(ν₁), U~χ²(ν₂) (独立)より(V/ν₁)/(U/ν₂)~F(ν₁,ν₂)となること特別な場合になります。続く

#統計 V~χ²(ν₁), U~χ²(ν₂) (独立)より(V/ν₁)/(U/ν₂)~F(ν₁,ν₂)となることはF分布の定義が無用に複雑になっていて分かりにくいのですが、その本質はガンマ分布とベータプライム分布の関係に過ぎません。続く

#統計 X~Γ(κ,1), Y~Γ(λ,1) (独立)のとき、

　X+Y~Γ(κ+λ,1), P=X/(X+Y)~Beta(κ,λ) (独立)

となることはガンマ関数とベータ関数の関係のちょっとした一般化に過ぎず、さらに

　Q=P/(1-P)=X/Y~BetaPrime(κ,λ)

も成立しています。

ベータプライム分布の定義
↓
en.wikipedia.org/wiki/Beta_prim…

#統計 ベータ分布に従う確率変数Pは「割合」や「確率」を意味するパラメータのモデル化によく使われます。そのように解釈されたPについてQ=P/(1-P)をオッズと呼びます(オッズは賭け事に関しては標準的な用語)。そのベータ分布のオッズQが従う分布はベータプライム分布と呼ばれています。続く

#統計 ベータプライム分布の確率密度関数はベータ分布と同じ程度にシンプルで扱い易いです。

そして、F分布はベータプライム分布のスケール変換に過ぎないので、ベータプライム分布について理解していればF分布の理解も容易になります。

関連

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#統計 確率分布の世界については、構造がはっきりしない悪しき「曼荼羅図」を描かずに、自分なりのやり方で確率分布の世界の一部分の構造がわかるような図を描いた方が理解に役立ちます。

確率分布曼荼羅を勧める人達の後にはついてゆかない方が良いです。

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#統計 おまけ

以上にこの「おまけ」も合わせれば学部レベルの統計学入門に出て来る確率分布達の世界の構造を理解できると思います。

理解しておくと、統計モデルを自分で設計するときに役に立ちます。

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#統計 「確率分布曼荼羅」がいかにダメかに関する具体的な説明については以下のリンク先を参照。

統計モデリングもために理解しておいた方が良い構造(矢線)がある種の人達が推奨している「確率分布曼荼羅」ではごっそり抜け落ちています。

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