#数楽 小ネタ

ガンマ関数での e⁻ᵗ tˢ⁻¹ dt でのs-1の-1を消すためには、t=eˣとおけばよい:

　e⁻ᵗ tˢ⁻¹ dt = e⁻ᵗ tˢ dx.

これは「みんな」知っている。

問題: ベータ関数での pᵃ⁻¹ (1-p)ᵇ⁻¹ dpでの2つの-1を消すにはどうすれば良いか？

答えに続く

#数楽 問題: ベータ関数での pᵃ⁻¹ (1-p)ᵇ⁻¹ dpでの2つの-1を消すにはどうすれば良いか？

の答えは

　p = logistic(x) = 1/(1+e⁻ˣ) とおけばよい

です。なぜならばそのときロジスティック方程式

　dp = p(1-p) dx

が成立しているから。統計学と機械学習ではこれよく出て来ます。

#統計 ベイズ統計で母比率pの信用区間をHDI(最高密度区間)で作るときには、座標系pでのHDIではなく、p=logistic(x)としたときの座標系xでのHDIを使うのがおそらく自然だと思われます。

通常の信頼区間との比較では、improperベータ事前分布Beta(0,0)をまず試してみると良さそうです。

#統計 連続分布から区間を切り出す方法の代表例は、等踞区間(とうきょ区間)のETIと最高密度区間のHDIの2つ。

ETIは座標不変なのですが、HDIは座標系の取り方に依存することに注意して扱う必要があります。

しかし、HDIの座標依存性に注意を払わない解説が多い。それだとちょっとだけまずいです。

#統計 事後分布から区間を切り出す方法は、点推定の方法を含みます。長さ0の閉区間を切り出す操作が点推定になる。

ベイズ的な点推定法として有名なのは、MAP法ですが、MAP法も座標系の取り方に依存します。そして、MAP法はHDIによる区間推定の「長さ0の区間」の場合になっています。

#統計 統計学での大事な教えの1つは「点推定の結果だけを報告してはいけない」です。点推定法は常に区間推定法に拡張しておいた方がよい。

MAP法による点推定は、HDI(最高密度区間)による区間推定に拡張されます。そしてそれらは座標系の取り方に依存する。