#数楽 確率変数云々の話がわけわからん。

確率変数を「参照するたびに確率的に値がランダムに決まる変数」のようにラフに導入することの次が、測度論的な確率変数の定義の学習だと思っていること自体が誤り。

数学的な概念の理解はそういう浅はかなものではない。続く

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#数楽 「サイコロの出目」とか「コンピュータでのrand()関数」などを例に確率変数Xについて説明することがあります。そういう導入で困っていなければそれはそれで問題ない。続く

#数楽 そういう感じの確率変数の導入で重要な段階は、確率変数Xの関数f(X)の期待値E[f(X)]の導入でし。

確率変数についてはその関数の期待値E[f(X)]さえ使えれば大抵のことをできる。例えばそれだけで、測度論を一切使わずに、中心極限定理のあるバージョンも証明できる。続く

#数楽 中心極限定理のような所まで行く前に、確率変数Xの分散はμ=E[X]とおいたときのE[(X-μ)²]と定義され、E[f(X)]の重要な例として分散があることも知ることになる。続く

#数楽 確率変数達の独立性も確率変数の関数の期待値の言葉で述べられる。

まず、X₁,X₂,…,Xₙが確率変数扱いできるためには、それらの関数f(X₁,X₂,…,Xₙ)の期待値E[f(X₁,X₂,…,Xₙ)]を使えればよい。続く

#数楽 そして、X₁,X₂,…,Xₙが独立であることは、それぞれの関数fᵢ(Xᵢ)について

E[f₁(X₁)f₂(X₂)⋯fₙ(Xₙ)] = E[f₁(X₁)]E[f₂(X₂)]⋯E[fₙ(Xₙ)]

が成立することだと思って良い。(これを定義だと思って良い。)続き

#数楽 確率変数X,Yが独立なら共分散が0になることは、μ=E[X], ν=E[Y]とおいて、

E[(X-μ)(Y-ν)] = E[X-μ]E[Y-ν] = 0×0 = 0

と証明できる。最初の等号で1つ前の投稿の意味での独立性を使った。続く

#数楽 確率変数をインフォーマルに「確率的にランダムに値が決まる変数」のような感じで導入していても、分散やら共分散を扱うときも含めた諸々の段階で、確率変数の関数の期待値に関する議論を自然に繰り返します。続く

#数楽 確率変数についての数学的取り扱いはE[f(X₁,…,Xₙ)]型の期待値の取り扱いに習熟すればそれだけで大抵のことをできるということが、沢山経験を積めば自然に分かる。

こういう感じに理解を深めることは、個人的な意見ではいきなり測度論的な確率変数の定義を学ぶことよりも大事だと思います。

#数楽 期待値を取る操作f(X)↦E[f(X)]については、線形性、単調性(大小関係を保つこと)、規格化条件E[1]=1の3つを仮定しておけば、大数の弱法則も、中心極限定理のあるバージョンも(測度論的な確率変数の定義を使わずに)証明できます。

#数楽 サイコロの出目XについてのE[f(X)]の定義は

E[f(X)] = (1/6) Σ_{x=1}^6 f(x).

標準正規分布に従う確率変数Xについては

E[f(X)] = (1/√(2π)) ∫_{-∞}^∞ f(x) exp(-x²/2) dx.

確率変数についてはE[f(X)]さえ定義されていればあとはどうとでもなる。

#数楽 沢山の計算によって、確率変数XについてはE[f(X)]さえ定義されていればあとはどうとでもなる、と理解していれば統計学入門には十分だし、測度論的な確率変数の概念の理解も単に「その関数の期待値E[f(X)]が自然に定義されている状況を設定しているだけ」だとなり簡単です。

#統計 入門的教科書の多くに測度論的な確率変数の定義が書いてあるという理由で、測度論に関する知識がないと確率変数について理解したことにならないかのように考えるのは誤り。

数学は確立した権威ある定義から出発する分野ではなく、適切な定義を自分で作ることから出発する分野です。

#統計 確立した権威ある定義の仕方の多くは非常に巧妙でコスパ的に優れた側面を持っているのですが、いきなりその字面を読んでも理解できることは稀です。

しかし、沢山の計算と沢山の議論の集積によってどのように抽象化するとうまく行きそうかの感触が掴めていると簡単に理解できることが多い。

#統計 結局のところ、「自分ならその概念をどのように定義するか」のような発想を常にしていた方が、既存の確立した権威ある定義についても楽に理解できることが多いと思います。

これは数学に限らない。

#数楽 SNSにおけるある種の人達や教育系YouTuberなどによって、昔からあるダメな考え方に非常に若いときから触れてしまって洗脳されてしまう人が増えているのではないか？

「確率変数は難しい」とかの困った言説の普及は氷山の一角。

「数学の本を写経」(←クズ)もすっかりネットミーム化している。

#数楽 数学好きの若い人達に、頭が悪くなってしまう思考の枠組みや勉強の仕方を上手に受け入れさせる活動にはみんなもっと注意を払うべき。

かけ算順序固定強制指導には100年以上の歴史がある。我々の世代も100年以上たった後に同じことを言われないように注意したいものです。

#数楽 訂正: 「でし」→「です」

確率論をギャンブルに関する理論だと思っている人にとっては、期待値が基本的であることは色々納得できるはず。

ちょっと非自明なのは期待値E[f(X)]さえ使えれば大数の法則や中心極限定理(のあるバージョン)などを定式化して証明できること。

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