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「線形代数で一番重要な定理」として，これを挙げる人もいるかと思います．この定理の名称は定まっていないようで，文献によってはそもそも名前を付けていません． Wikipediaでは "rank-nullity theorem" として扱われています． <a target="_blank" href="https://en.wikipedia.org/wiki/Rank%E2%80%93nullity_theorem" color="blue">en.wikipedia.org/wiki/Rank%E2%8…</a>
行列が表す線形写像の「すべて」を表しているわけではないので，個人的には線形空間のクライマックスの土台くらいの位置づけだと思っています． それでも，線形代数で出てくる定理の中で上位3つを選べと言われたら間違いなくこの定理を入れます．
この辺の「線形という性質の根幹に関わる構造」を理解する道具が線形代数です． 結果的にデータ分析も，ロボットも，電子回路も，制御システムも「全部おなじ構造じゃないか」で済ませるのが目的です．なんでも設計できる人になりたい．