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Esto es un error altamente extendido así que voy a hablar un poco sobre ello. Lo primero es mencionar que, aunque nadie sepa muy bien por qué, la naturaleza ha escogido a la acción "S" como la entidad fundamental sobre la que construimos teorías. La acción se define como la <a target="_blank" href="https://twitter.com/diff_eq/status/1795149261576761718" color="blue">x.com/diff_eq/status…</a>
integral de la densidad lagrangriana "ℒ " (abusaré de lenguaje y la llamaré Lagrangiano, y me sitúo en un contexto de campos para no perder generalidad) a todo el espaciotiempo, así que en última instancia es el Lagrangiano quien define nuestras teorías. A veces se responde que
las ecuaciones en física son de segundo orden porque el Lagrangiano cumple las ecuaciones de Euler-Lagrange (E-L), y éstas tienen como mucho dos derivadas. Esto es rotundamente falso, pues esta versión de E-L parte de asumir que ℒ sólo depende de campos y sus primeras derivadas
Si añadimos dependencia en derivadas superiores de los campos, aparecen términos alternados de signo con derivadas cada vez mayores. Entonces, ¿por qué la mayoría de ℒ tienen como mucho dos derivadas? (num derivadas en las ecs = num derivadas del término con más derivadas enℒ)
La respuesta está, parcialmente, en el análisis dimensional. Por simplicidad tomo 4 dimensiones espaciotemporales, de manera que S = ∫d^4 x ℒ . La acción es adimensional, [S]=1, pero [d^4x] = [dt dx dy dz] = L^4, por lo que necesariamente [ℒ ] = L^(-4) = 1/L^4.
Durante toda esta discusión uso unidades naturales, donde c=ħ=1. Esto es muy beneficioso porque: [c]=L/T=1 implica que T=L [ħ]=E T=1 implica que T=1/E Así, la longitud L y la energía E son inversas la una de la otra (1/L = E), esto es: corta (alta) distancia = alta (baja) energía
Cada derivada tiene dimensiones de inverso de longitud, [∂] = 1/L = E. Pongamos ahora un Lagrangiano sencillo, como el de Klein-Gordon sin masa: ℒ = (∂ϕ)^2 = (∂ϕ) (∂ϕ) Para cuadrar las dimensiones el campo escalar debe cumplir [ϕ] = 1/L = E, porque así [ℒ ] = 1/L^4 = E^4.
Pues ya lo tenemos todo, ahora vayamos más allá, en vez de quedarnos con dos derivadas, ¿por qué no escribir más términos en el Lagrangiano? Todo lo que no vaya contra principios fundamentales no sólo está permitido, sino que es obligatorio. Construyamos pues un ℒ más general:
ℒ = a (∂ϕ)^2 + b ϕ^2 + c ϕ^3 + d ϕ^4 + e ϕ^5 + f ϕ^6 + g (∂ϕ)^4 + h ϕ(∂ϕ)^2 + ... Veamos las dimensiones que tienen las letras delante de los campos: [a] = 1 [e] = 1/E [b] = E^2 [f] = 1/E^2 [c] = E [g] = 1/E^8 [d] = 1 [h] = 1/E^5
Las de la primera columna son proporcionales a la energía, mientras que las de la segunda columna son inversamente proporcionales a la energía. Aquí tenemos la clave de todo: los términos con derivadas superiores (cada derivada contribuirá con 1/L=E) están suprimidos por energía.
Si nuestros campos están a una escala de energía muy por debajo de E, ϕ << E, entonces sólo los términos de la primera columna sobreviven. A medida que la energía de nuestros campos aumenta y se va haciendo comparable con E, los términos de la segunda columna empiezan a notarse
y ya no son despreciables, siendo éstos claramente dominantes a alta energía. Así pues, la lección es que los Lagrangianos NO son como mucho de segundo orden en general, sino que pueden tener (y tienen) una torre (infinita) de términos permitidos por primeros principios, cuyas
constantes que van delante de dichos términos están relacionadas con la escala de energía del problema. Cuando estamos a baja energía (límite clásico), los términos superiores son irrelevantes para describir la física, por eso nunca se tienen en cuenta, están pero son negligibles
A alta energía estos empiezan a ser relevantes, y eventualmente dominan. Ya hablé alguna vez de las patologías que tienen las altas derivadas no suprimidas: ghosts, Ostrogradsky, etc., y todo esto tiene mucha relación con el enfoque Wilsoniano de renormalización, pero ya me cansé