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Siempre me ha parecido fascinante que el número de dimensiones espaciales sea determinante en fenómenos físicos fundamentales como la gravedad, la electrostática, la radiación isótropa, etc. La justificación matemática de esto es bastante bella, y Zwiebach (2004) la muestra de
manera sencilla y hasta didáctica, gracias a su introducción anterior sobre n-esferas. El asunto se vuelve más interesante aún cuando un@ demuestra que justamente el caso d=3 (nuestro Universo, aparentemente) es el único valor de dimensión espacial que permite soluciones de tipo
curvas cónicas (circunferencias, elipses, parábolas e hipérbolas). Si la dependencia fuera con otra potencia distinta, las soluciones no serían órbitas sino espirales que terminarían cayendo o alejándose indefinidamente, lo cual no serían sistemas gravitatorios estables.
Hasta aquí todo genial. Además, la Relatividad General, que es la teoría de gravitación vigente, recupera dicha dependencia en el límite Newtoniano. Un@ podría preguntarse entonces qué ocurre con modelos de gravitación modificada, ya no donde se añadan términos adicionales a los
que Einstein consideró, sino donde se añadan dimensiones espaciales adicionales, como en varias Teorías de Cuerdas. Después de todo, la Relatividad General sabemos que no es la última descripción de la gravedad y, entre otras cosas, precisa de una extensión UV (altas energías).
La gracia es que en dichos modelos las dimensiones adicionales están compactificadas (algo parecido a condiciones de contorno periódicas en las dimensiones) en una escala de longitud L. Aplicando la ley de Gauss para una hipersuperficie cerrada
de radio r<<L alrededor de una masa puntual, el interior de la hipersuperficie gaussiana parece un espacio de D dimensiones espaciales (con D las dimensiones espaciales que considere la teoría de cuerdas en cuestión, pueden ser 26, 10, etc.), por lo que el "área" de la
hipersuperficie es proporcional a r^(D-1). La ley de Gauss nos dice que el flujo total no depende de r, por lo que la intensidad del campo es proporcional a r^-(D-1). Pero, a medida que r aumenta, esto ya no es válido porque nos alejamos del régimen r<<L.
Por tanto, que la intensidad de la fuerza sea proporcional a r^-(D-1) es sólo válido para r<<L, de la misma manera que la dependencia 1/r^2 que observamos en nuestro Universo solo es válida para r>>L. Es por esto que no se observa ninguna modificación a escala Newtoniana de
estas dimensiones adicionales. En el régimen r ≈ L no sé exactamente qué ocurre, pero lo que cabría esperar es una transición suave y gradual entre las dos dependencias 1/r^2 y r^-(D-1). Antes he mencionado que hay modelos que no añaden dimensiones espaciales adicionales
sino que añaden parámetros adicionales a la Relatividad General, que suelen ir acompañados de contracciones de potencias de tensores de curvatura. Ese tipo de teorías tienen incidencia directa en el potencial y la fuerza Newtoniana, pero eso ya para otro día.